Semana 19

SEMANA 14

24 AL 28 DE ABRIL


CONCEPTOS DE ÁLGEBRA ( VER ELVIDEO)







CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA

DEFINICIÓN ÁLGEBRA

El término álgebra viene del título de la obra del mátematico árabe Mahommed ibn Musa al-Kharizmi, que significa Mahommed, hijo de Musa, natural de Kharizm, a-jebr w'al-muqabalah, que significa transposición y eliminación. El término parece adecuado si consideramos que el álgebra es una de las matemáticas que se encarga de resolver las ecuaciones y ello pasa por algunas serie de simplificaciones en base a eliminaciones.  Al inicio de la historia del álgebra fue importante la participación de los egipcios y babilónicos, los cuales resolvieron las primeras ecuaciones lineales y algunas cuadráticas.

El álgebra, la mayoría de las veces da la solución mediante símbolos que representa números; esta representación numérica mediante literales o símbolos, además de operaciones que resumen las operaciones aritméticas son debidas a Galois.

ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS.

Una expresión algebraica es una combinación de números y letras sometidos a las operaciones de suma , resta , multiplicación , división , potenciación y radicación , que cumplen las mismas reglas que con los números.

Ejemplo:  3x² + 6xy + 3y²  

Un término es una combinación de números y símbolos (que representan números) unidos por las operaciones elementales como la suma, restas, multiplicaciones o divisiones.

Ejemplo: 9x⁵y,  -8x²/y  son términos de una expresión algebraica.

Un factor es cada uno de los componentes de un término.

Elegido un factor, un coeficiente, es lo queda del término. Si el coeficiente es un número se le llama coeficiente numérico.

Ejemplos:

Expresión algebraica	Términos	Factores	Coeficientes	Coeficientes Numéricos
a x2 + bx + b	ax2	x2	a	a,   b yc son coeficientes numéricos de los respectivos
		a	x2
	bx	x	b
		a	x
	c	c	c
4xy+1	4xy	4	xy	4 es el coeficiente numérico de 4xy
		x	4y
		y	4x
	1	1	Por ser único elemento no tiene otro coeficiente	1 es coeficiente numérico

 ENTONCES:

NOMENCLATURA ALGEBRAICA : 

Variable: Es un símbolo que representa cualquier número o valor de un 

conjunto dado y que puede cambiar. Normalmente se utilizan 

las últimas letras del alfabeto para identificar una variable (sin que 

ello sea excluyente). 

Por ej: t ; x ; y ; z ; u ; v ; etc. 

Constante: Es un valor fijo, que no sufre modificaciones y puede ser 

numérica o literal, en cuyo caso se acostumbra a utilizar las 

primeras letras del alfabeto para identificarlas. 

Por ej: 18 3.141516 a b c 4 etc. 

Término algebraico: 

Es el producto de una o más variables o una constante literal ó 

numérica. Están separados, entre ellos, uno de otro por un signo 

de suma o resta. 

Por ej: 3a ; 6abx ; -acy ; 4

3

r

5 ; etc. 

Cuando no existe signo explícito escrito entre dos símbolos, se 

entiende que es multiplicación. 

Monomio: Es la expresión algebraica con 1 sólo término algebraico. 

Binomio : Es la expresión algebraica con 2 términos algebraicos. 

Trinomio : Es la expresión algebraica con 3 términos algebraicos. 

Polinomio: Es la expresión algebraica con 4 o más términos algebraicos. 

Expresiones Algebraica: 

 Es la combinación de uno ó más términos algebraicos mediante la 

operación de adición o substracción. 

 Es la suma de los exponentes de sus factores literales. 

  

Grado de un polinomio : 

 Está determinado por el mayor grado de alguno de sus términos 

cuyo coeficiente es distinto de cero. 

Polinomio de una variable : Es una expresión algebraica de la forma: 

 an xn

 + an-1 xn-1 + an-2xn-2 + ........ + a1x + a0 n ∈ N0

 que también puede expresarse de la forma: 

 a0 + a1 x + a2 x 2 + ............. + an x n n ∈ N0

p. ej: x 1

3

2 5x 3x 2 3 + − + polinomio de 4º grado 

 3 + 4x - 5x 2 trinomio de 2º grado 

 t 2 - 6t + 8 trinomio de 2º grado 

 y - 2y 3 + 3y 4 - 2y 5 polinomio de 5º grado 

 3y - 6 binomio de 1er grado 

Si corresponde, reduzca finalmente los términos semejantes. 

 − 2ax 3y2 ( 2x − 3xy + y 2) = − 4ax 4y 2 + 6ax 4y 3 − 2ax3 y 4

 3x ( x 2 − 2xy + y 2) = 3x 3 − 6x 2y + 3xy2

 4x(x − y) − 3y(x + y) − 2(x 2 − y 2) = 

 4x 2 − 4xy − 3xy − 3y 2 − 2x 2 + 2y 2 reduciendo términos sem. 

 2x 2 − 7xy − y 2

Multiplicación o producto de 2 polinomios: 

Se multiplican todos los términos de uno de los factores por cada uno de los 

términos del otro factor, teniendo en cuenta la ley de los signos en el producto. 

Cada producto se separa del otro, con el correspondiente signo y finalmente se 

reducen términos semejantes. 

 p.ej: (2x − 1)(3x 2 − 4x + 2) = 6x 3 − 4x 2 + 4x −3x 2 + 4x − 2

reduciendo términos semejantes, queda 

 6x 3 − 7x 2 + 8x − 2 

Orden de los términos: 

En una expresión algebraica, los términos se ordenan de izquierda a derecha 

3x 2 − 5x + 6xy − 3y 2

1er 2º 3er 4º término PRODUCTOS NOTABLES :

CUADRADO DE UN BINOMIO : ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 

 Es igual al cuadrado del primer término, más o menos el doble producto 

del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término. 

 p. ej: ( 3x + 2 ) 2 = 9x 2 + 12x + 4 

 ( x - 3y ) 2 = x 2 - 6xy + 9y 2 

CUBO DE UN BINOMIO : ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a2

b + 3ab2 ± b 3

Es igual al cubo del primer término, más o menos el triple producto del 

cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el 

cuadrado del segundo, más o menos el cubo del segundo término 

 p. ej: ( 2 + 3x ) 3 = 8 + 36x + 54x 2 + 27x 3

 ( 1 - 2y ) 3 = 1 - 6y + 12y 2 - 8 y 3 

SUMA POR DIFERENCIA : ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2

 Es igual al cuadrado del primer término, menos el cuadrado del segundo 

término. 

 p. ej: ( x - 3 )( x + 3 ) = x 2 - 9 

 ( 2y +1)(2y - 1) = 4y 2 – 1 

PRODUCTO DE 2 BINOMIOS CON UN TÉRMINO EN COMÚM: 

( x + a )( x + b ) = x 2 + ( a + b )x + a⋅b 

 Es igual al cuadrado del término común, más la suma de los términos 

diferentes por el término común, más el producto de los términos diferentes. 

 p. ej: ( x + 2 )( x + 3 ) = x 2 + ( 2 + 3)x + 2⋅3 = x 2 + 5x + 6 

 ( 2y +1)(2y + 3) = (2y) 2 + ( 1 + 3)⋅ 2y + 1 ⋅ 3 = 4y 2 + 4y + 3 

 ( x − 3)(x + 5) = x 2 + ( − 3 + 5)⋅x + (−3)(5) = x 2 + 2x − 15