SEMANA 14 MATEMÁTICAS (EMILSE)

24 AL 28 DE ABRIL


CONCEPTOS DE ÁLGEBRA ( VER ELVIDEO)







CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA

DEFINICIÓN ÁLGEBRA

El término álgebra viene del título de la obra del matemático árabe Mahommed ibn Musa al-Kharizmi, que significa Mahommed, hijo de Musa, natural de Kharizm, a-jebr w'al-muqabalah, que significa transposición y eliminación. El término parece adecuado si consideramos que el álgebra es una de las matemáticas que se encarga de resolver las ecuaciones y ello pasa por algunas serie de simplificaciones en base a eliminaciones.  Al inicio de la historia del álgebra fue importante la participación de los egipcios y babilónicos, los cuales resolvieron las primeras ecuaciones lineales y algunas cuadráticas.

El álgebra, la mayoría de las veces da la solución mediante símbolos que representa números; esta representación numérica mediante literales o símbolos, además de operaciones que resumen las operaciones aritméticas son debidas a Galois.

Algunos conceptos básicos.

Una expresión algebraica es la escritura  combinada de signos de operación( x, + , dividido y -), de relación ( mayor que, menor que, =), de agrupación ( (), `[], {}) con símbolos tanto numéricos como literales. La expresión algebraica está formada por términos. 

Ejemplo:  3x² + 6xy + 3y²  

Un término algebraico: es una combinación de números y símbolos (que representan números) unidos por las operaciones elementales como la suma, restas, multiplicaciones o divisiones.

Ejemplo:
A) 9x⁵y 
B) -8x²y  son términos de una expresión algebraica.

 Si el coeficiente es un número se le llama coeficiente numérico.

Un término algebraico consta de cinco partes: 
Signo: S
Parte numérica: P.N:
Parte literal : .L
Exponente de la parte literal: E.P.L.
Operador: O
Ejemplo:
 A)   -5y4------------Signo: -
                      P.N: 5
                      P.L: y
                      E.P.L: 4
                      O: X ( multiplicación)

Cuando no existe signo explícito escrito entre dos símbolos, se 

entiende que es multiplicación. 

Monomio: Es la expresión algebraica con 1 sólo término algebraico. 

Binomio : Es la expresión algebraica con 2 términos algebraicos. 

Trinomio : Es la expresión algebraica con 3 términos algebraicos. 

Polinomio: Es la expresión algebraica con 4 o más términos algebraicos. 

Expresiones Algebraica: 

 Es la combinación de uno ó más términos algebraicos mediante la 

operación de adición o sustracción. Ejemplos:

 a)  ax + 2 b y2 − xy 

 b) 3x + 4 x 2 −5y

c)2a x2+ bx + c 

Grado de un término algebraico: 

 Es la suma de los exponentes de sus factores literales. En un término algebraico podemos identificar el grado absoluto y el grado relativo.
Grado absoluto: ( G.A)
Es igual a la suma de todos los exponentes de las partes literales.
Grado relativo ( G.R)
El grado relativo está dado por el exponente de la parte literal indicada.
Ejemplos:

a) -5a3bc2

 Grado Absoluto del término = 3 + 2 + 1 = 6 --------se sumaron los exponentes de las partes literales( letras)
Grado relativo: Con respecto a A= 3
                        Con respecto a b= 1
                        Con respecto a c= 2

 b) 3x2

 Grado Absoluto del término = 2 
Grado relativo: Con respecto a x= 2

c) xy2

 Grado Absoluto del término = 2 + 1 = 3 
Grado relativo: Con respecto a x= 1
Grado relativo: Con respecto a y = 2

Grado de un polinomio : Está determinado por el mayor grado de alguno de sus términos cuyo coeficiente es distinto de cero. Ejemplos:

25x +3x- 2 Xy3         polinomio de 4º grado ------a cada término le halló el grado absoluto y se escoge el mayor grado, que será el grado del polinomio.
1º término = Grado Absoluto= 1
2º término = Grado Absoluto=1
2ºtérmino = Grado Absoluto=4

 3 + 4x - 5x 2 trinomio de 2º grado ------a cada término le halló el grado absoluto y se escoge el mayor grado, que será el grado del polinomio.

2º término = Grado Absoluto=1
2ºtérmino = Grado Absoluto=1
3º término = Grado Absoluto=2

 t 2 - 6t + 8 trinomio de 2º grado ------a cada término le halló el grado absoluto y se escoge el mayor grado, que será el grado del polinomio.

 y - 2y 3 + 3y 4 - 2y 5 polinomio de 5º grado ------a cada término le halló el grado absoluto y se escoge el mayor grado, que será el grado del polinomio.

 3y - 6  --------binomio de 1er grado ------a cada término le halló el grado absoluto y se escoge el mayor grado, que será el grado del polinomio.

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Las expresiones algebraicas se clasifican de acuerdo al número de términos:
Monomios, binomios, trinomios, polinomios.

Monomios

Las expresiones algebraicas llamadas monomios con aquellas que están compuestas por un sólo término. Las únicas operaciones matemáticas que aparecen son la multiplicación y la potencia de exponente natural, es decir, de exponentes con números positivos. Un ejemplo sería:  

2x²

 2x2y3z.

Binomios. Si se componen por dos términos se le llama binomio. Un ejemplo sería:

a⁴ b⁵ + 3 a² b² c⁷

Trinomios. Cuando se denomina trinomio, es una expresión algebraica compuesta por tres monomios:

 ab³ + 5a² b⁷ m – 35 abx⁵

Polinomios

Los polinomios son expresiones algebraicas que tienen más de tres términos separados únicamente por el signo + y el signo -.Ejemplos:

x+xy +y+z 

ab³ + 5a² b⁷ m – 35 abx⁵

Grado de un polinomio:

Grado absoluto:Es la mayor suma de los exponente de las partes literales de cada término.Ejemplo:

ab³ + 5a² b⁷ m – 35 abx⁵   Grado del término: 10; ya que el primer término es grado 4, el segundo término es grado absoluto 10, el tercer término es grado absoluto 7. Por lo tanto el grado absoluto del polinomio es 10, que es el mayor.

Grado  Relativo:Respecto a una letra, es el mayor exponente de dicha letra. 

ab³ + 5a² b⁷ m – 35 abx⁵

Grado Relativo con respeto a a: 

Primer término, a= 1    b= 3  

Segundo término:

Grado Relativo con respeto a a: 2       b=7     m= 1

Tercer término=

Grado Relativo con respeto a a: 1       b= 1      x= 5

ORDEN DE UN POLINOMIO

Un polinomio lo podemos ordenar en forma ascendente y descendente.

Ascendente: De menor a mayor de acuerdo con la letra escogida.

Descendente:De mayor a menor de acuerdo con la letra escogida.

Ascendente: -10x²y⁷   + 3x³y⁵   -5x⁴y⁸   +4x⁵y  Con respecto a la X

Descendente: 4x⁵y  -5x⁴y⁸  + 3x³y⁵   -10x²y⁷    Con respecto a la X

Clases de términos

ENTEROS: cuando no tienen letras en el denominador

Ejemplos:         3ax³                 3x²                   25kx
                          4

FRACCIONARIOS: cuando tienen letras en el denominador

Ejemplos:         3am                 2ax²y               98oj³
                         4d                      n                   a²b³

RACIONALES: cuando no tienen ninguna letra bajo signo radical

Ejemplos:         5ab                  25ab√29          8mn√5
                                                                          √95

IRRACIONALES: cuando tienen letras bajo un signo radical

Ejemplos:         5√x                  25mn√32m         8xy
                                                                            √j   

SEMEJANTES: son los que tienen la misma parte literal, o sea las mismas letras y cada letra con el mismo exponente.

Ejemplos:         a) 3x²; -5x²; 91x²; 35x²

                        b) 5√y³; 85√y³; 0.36√y³

                        c)4m² n³; 85 m² n³;3/5 m² n³

 TÉRMINOS HOMOGÉNEOS: Tienen el mismo grado absoluto.Ejemplo:

4m² n³  ;       85 m² n³;       3/5 m² n³

Todos tienen grado 5

TÉRMINOS HETEROGÉNEOS: Tienen distinto grado absoluto.Ejemplo:

3x²; 5 m² n³

El primero tiene grado 2   y el segundo tiene grado 5, por ello son heterogéneos 

IMPORTANTE: solamente los términos semejantes se pueden sumar o restar.

Se realiza taller aplicando toda la temática.Se dá fotocopia en clase.